Monte Carlo Simulationen in Finance, Controlling & Risiko

Executive Summary

• Warum wichtig: Monte‑Carlo‑Simulationen (MCS) liefern Wahrscheinlichkeitsverteilungen statt anstatt nur absolute Punktwerte. Damit werden Risiken, Chancen und Bandbreiten sichtbar – und Maßnahmen lassen sich nach Wirkung priorisieren.

• So‑what: „Unser P5‑Risiko liegt bei −2,4 Mio. CHF (NPV). Maßnahme Y (z. B. Energie‑Hedging) reduziert P5 auf −1,1 Mio. CHF; Prob(NPV<0) sinkt von 31 % auf 14 %.“

• EU‑Compliance:

  • DORA (Digital Operational Resilience Act – EU‑Verordnung zur digitalen operationalen Resilienz) verlangt robuste Quantifizierung und Steuerung operativer IKT‑Risiken – MCS macht TTR/RTO‑Verstöße und Downtime‑Kosten quantifizierbar.

  • CSRD (Corporate Sustainability Reporting Directive – EU‑Richtlinie zur Nachhaltigkeitsberichterstattung) und EU‑Taxonomie erfordern quantitative Klima‑Bandbreiten – MCS übersetzt Transition/Physical‑Risiken in EBITDA/FCF/NPV.

• IFRS 9 (International Financial Reporting Standard 9 – Finanzinstrumente): Expected Credit Loss (ECL) basiert auf wahrscheinlichkeitsgewichteten, forward‑looking Schätzungen – MCS unterstützt Makropfade, Migration und Lifetime‑Loss‑Verteilungen.

• Governance: Validierung & Backtesting (Audit‑Checkliste) stellen Revisionssicherheit und Management‑Tauglichkeit sicher.

2. Das Grundprinzip – Schritt für Schritt (Kurzüberblick)

1. Business‑/DCF‑Modell: Umsatz, variable/fixe Kosten, Capex, NWC, Steuern, WACC.

2. Verteilungen für unsichere Treiber: Normal, Lognormal, Dreieck, t (Fat Tails), empirisch.

3. Abhängigkeiten/Korrelationen: z. B. Preis ↔ Menge; Energie ↔ CO₂; Inflation ↔ Zins. Copulas trennen Abhängigkeit von Marginalverteilungen (robust bei Nichtlinearitäten/Tail‑Dependence).

4. Sampling: 5 000–20 000 Läufe genügen meist; Konvergenz häufig ab ~10 000. Latin‑Hypercube‑Sampling (LHS) reduziert Varianz gegenüber einfachem Zufallssampling.

5. Auswertung: Histogramm, P‑Perzentile, VaR, Tornado (Spearman‑Rangkorrelation).

6. Governance: Annahmen‑Doku, Validierung, Backtesting, Audit‑Trail (siehe MVA©‑Checkliste).

3. EU‑Compliance – warum MCS hier besonders stark ist

3.1 DORA & Operationale Resilienz (Finanzsektor)

• Anforderungen: IKT‑Risiko‑Management, Incident‑Klassifikation, Resilienz‑Tests, 3rd‑Party‑Überwachung; gilt ab 17. Januar 2025.

• Mit MCS quantifizierbar:

  • TTR (Time to Recover – Wiederherstellungsdauer) als Verteilung (oft Lognormal/Gamma).

  • RTO/RPO (Recovery Time/Point Objective – Wiederanlaufziel/Wiederherstellungspunkt) gegen simulierte TTR‑Verteilungen prüfen.

  • Kaskaden durch Drittanbieter via Korrelationen/Copulas modellieren.

  • Outputs: Verteilung Downtime‑Kosten, P(TTR>RTO), Budget‑Impact von Resilienz‑Maßnahmen.

3.2 CSRD & EU‑Taxonomie – Klimarisiken in Cashflows übersetzen

• CSRD verlangt erweiterte, teils quantifizierte Nachhaltigkeitsangaben (konzernweit; Stufen nach Größe/Listing).

• EU‑Taxonomie definiert Umweltziele & Kriterien; Offenlegung via Delegierte Rechtsakte. Mit MCS werden Transition/Physical‑Risiken als Bandbreiten in EBITDA/FCF/NPV sichtbar.

3.3 IFRS 9 – Expected Credit Loss (ECL)

• Forward‑Looking ECL: PD/LGD/EAD wahrscheinlichkeitsgewichtet, mehrperiodig; MCS unterstützt Makro‑Pfade & Ratingmigrationen. [ifrs.org], [eba.europa.eu]

• Aufsichtliche Orientierung: EBA‑Leitlinien konkretisieren Governance/Validierung (seit 2017).

4. Praxisbeispiel A – Klimarisiken (Transition‑Fokus)

Setup (5 Jahre)

• CO₂‑Preis ~ t‑Verteilung (Fat Tails, μ = 80 €/t, df = 5)

• Energiepreis‑Wachstum ~ Normal(5 %, 10 %), ρ = 0,6 zu CO₂

• Regulatorische Zusatzkosten ~ Uniform(0,5 %–2 % Umsatz)

• Nachfrage‑Wachstum ~ Normal(1 %, 4 %), ρ = −0,3 zu CO₂

• Optional: Dekarbonisierungs‑Capex (binär + Kostenverteilung)

Outputs:

NPV‑Verteilung (P5/P50/P95), VaR95, Prob(NPV<0), Maßnahmenwirkung (Hedging/Effizienz/Lieferantenmix).

ACCA/CIMA‑Bezug (Lernziele):

• ACCA FM/AFM: Unsicherheit in Investitionsentscheidungen analysieren; Risiko‑Minderung evaluieren & empfehlen.

• CIMA F3: Kapitalallokation unter Risiko; Klima‑Einflüsse auf Kapitalkosten/FCF.

5. Praxisbeispiel B – DORA: Zeit bis Wiederherstellung

Setup (12 Monate)

• Ausfälle je Monat ~ Poisson(λ)

• Reparaturdauer je Ereignis ~ Lognormal(μ, σ)

• Kaskaden: Drittanbieter‑Ausfall erhöht interne Ausfallwahrscheinlichkeit (bedingte W’keit)

• Ziele: P(TTR>RTO); erwartete Downtime‑Kosten (€/h × Ausfallstunden)

Beispiel‑Output

• P(TTR>4 h): 22 % (Baseline) → 9 % (aktives/passives Failover)

• Erwartete jährliche Downtime‑Kosten: 1,4 Mio. CHF → 0,7 Mio. CHF

Regulatorischer Kontext: DORA‑Pflichten und Delegierte Rechtsakte (z. B. Incident‑Klassifikation) – MCS liefert quantitative Nachweise für Proportionalität & Wirksamkeit.

6. Visualisierung & Kommunikation (Management‑tauglich)

Prinzip: Zahlen sind Mittel – Entscheidungen das Ziel.

• So‑what‑Satz voranstellen („P5 −2,4 Mio. CHF → −1,1 Mio. CHF; Payback 14 Monate.“).

• Visuals:

  1. Histogramm mit P5/P50/P95

  2. Tornado (Treiberwirkung via Spearman‑Rangkorrelation – robust bei Nichtlinearität)

  3. CDF (Prob(NPV<0) ablesen)

  4. Szenario‑Overlay (Baseline vs. „mit Maßnahme“)

One‑Pager‑Template (1 Seite)

1. Kernaussage/So‑what (2 Sätze)

2. Zahl der Woche (P5, VaR95, Prob(NPV<0))

3. Top‑3 Treiber (Tornado)

4. Maßnahme & Wirkung (vor/nach, inkl. Payback)

5. Restunsicherheit & nächster Schritt

7. Methodenvergleich – wo MCS überlegen ist

• Szenarioanalyse: einfach – aber keine Wahrscheinlichkeiten → MCS liefert Perzentile.

• Sensitivität: klärt Treiber – aber 1‑Faktor → MCS simuliert alle Treiber + Korrelationen.

• What‑If: schnell – kein Zufallsprozess → MCS mit realistischem Sampling.

• Entscheidungsbäume: Pfade/Optionen, aber Skalierungsgrenzen → MCS handhabt viele Unsicherheiten.

• Closed‑Form: elegant, aber Linearitätsannahmen → MCS robust bei Nichtlinearitäten/Optionen.

• Bootstrapping: datengetrieben, aber „Vergangenheitsbindung“ → MCS erlaubt freie Verteilungswahl + Fat Tails.

8. Grenzen

Daten‑/Verteilungsqualität, Abhängigkeiten (fehlerhafte Korrelationen), Doku‑Aufwand, Untererfassung von Extremen ohne explizite Modellierung → Gegenmittel: t/Pareto, Stress- & Reverse‑Stress‑Tests, Expert‑Overlays.

9. Validierung & Backtesting – MVA©‑Governance‑Checkliste (Audit‑Ready)

1. Dokumentation & Zweck

• <input type="checkbox" disabled> Scope & Zweck (Investition, IFRS 9‑ECL, DORA‑Resilienz)

• <input type="checkbox" disabled> Annahmen‑Register (Parameter, Quellen: Daten/Expert:innen, Verteilungen)

• <input type="checkbox" disabled> Versionierung & Änderungslog

2. Methodik & Statistik

• <input type="checkbox" disabled> Verteilungswahl begründet (inkl. Fat‑Tail‑Prüfung)

• <input type="checkbox" disabled> Korrelationen/Copulas fachlich & statistisch plausibel

• <input type="checkbox" disabled> Konvergenz belegt (z. B. ≥ 10 000 Läufe; Stabilität P5/P95/Prob(NPV<0))

• <input type="checkbox" disabled> Sampling: Begründung für LHS/Random; bei LHS kurzer Methodik‑Hinweis.

3. Implementierung & Integrität

• <input type="checkbox" disabled> Vier‑Augen‑Review (Formeln/Code)

• <input type="checkbox" disabled> Reproduzierbarkeit (Seed)

• <input type="checkbox" disabled> Boundary‑Checks (keine negativen Mengen/Preise; Caps/Floors)

4. Robustheit & Stress

• <input type="checkbox" disabled> Sensitivitäten (z. B. WACC + 10 %)

• <input type="checkbox" disabled> Reverse‑Stress (Bedingungen für NPV < Schwelle X)

• <input type="checkbox" disabled> Plausibilität (Historie, Benchmarks)

5. Reporting

• <input type="checkbox" disabled> Executive Summary (So‑what; Maßnahmenwirkung)

• <input type="checkbox" disabled> Visuals (Histogramm, Tornado (Spearman), CDF)

• <input type="checkbox" disabled> Limitationen/Black‑Swan‑Hinweis

10. Nachbauen in Excel & Python

10.1 Excel – ohne Add‑ins (de‑DE und en‑US)

Struktur

• Inputs (Parameter & Zufallslogik) → Cashflow (Jahres‑FCFs & NPV) → SimResults (≥ 10 000 Zeilen)

Verteilungen

• Normal:

  • de‑DE: =NORM.S.INV(ZUFALLSZAHL())

  • en‑US: =NORM.S.INV(RAND())

    → skalieren mit μ + σ * z

• Dreieck: per ZUFALLSZAHL()/RAND() + Stückformeln (min, modus, max)

Korrelation (2 Variablen)

Python

z1 = NORM.S.INV(ZUFALLSZAHL()/RAND())

z2 = NORM.S.INV(ZUFALLSZAHL()/RAND())

x1 = z1

x2 = ρ*z1 + SQRT(1-ρ^2)*z2

skalieren: μ + σ * x

Simulation

• Datentabelle (Was‑wäre‑wenn) mit 10 000 Läufen

• Perzentile: de‑DE =PERZENTIL.INKL(...), en‑US =PERCENTILE.INC(...)

• Prob(NPV<0): ANZAHLWENN/COUNTIF

• Visuals: Histogramm; Tornado via Spearman‑Rangkorrelation (robust) [en.wikipedia.org]

10.2 Python – Praxisbeispiel (inkl. Korrelation + Fat‑Tail korrekt via Copula/Quantil‑Mapping)

Warum Anpassung?

Ersetzt man im einfachen Skript die Normalverteilung durch eine t‑Verteilung, geht die vorher aufgebaute Korrelation verloren. Lösung: Gaussian Copula für die Abhängigkeit nutzen und die Marginalen per Quantil‑Mapping auf Normal/t/Dreieck abbilden. Alternativ: t‑Copula (mit Tail‑Dependence). [columbia.edu], [risknet.de]

Python

# Monte-Carlo Business Case (5 Jahre) mit korrelierten Treibern,

# Fat-Tail-Option & Spearman-Tornado (didaktisch kommentiert)

import numpy as np

import pandas as pd

from scipy.stats import norm, t as t_dist, triang, rankdata

import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)

# -----------------------------

# 1) Parameter

# -----------------------------

n_runs = 10_000

years = 5

# Startwerte & Finanzen

price0, qty0 = 100.0, 10_000.0

capex0 = 1_500_000.0

fix_cost = 300_000.0

tax, wacc = 0.20, 0.08

# Wachstumsannahmen (Jahr-zu-Jahr)

mu_price, sigma_price = 0.02, 0.03

mu_qty, sigma_qty = 0.01, 0.05

rho = -0.30 # Zielkorrelation (Preiswachstum vs. Mengenwachstum)

# Variable Kostenquote: Dreieck (min, modus, max)

tri_min, tri_mode, tri_max = 0.45, 0.50, 0.60

c = (tri_mode - tri_min) / (tri_max - tri_min) # shape für triang

# Fat-Tail-Option nur für den Preis (t-Marginale statt Normal)

use_t_marginal_for_price = True

t_df = 5

# -----------------------------

# 2) Abhängigkeiten via Copula

# -----------------------------

# (a) Korrelierte Standardnormal-Variaten (Gaussian Copula)

Z = np.random.randn(n_runs, years, 2) # Z[:,:,0]=z1, Z[:,:,1]=z2

# Cholesky für 2x2-Korrelationsmatrix

L = np.array([[1.0, 0.0],

              [rho, np.sqrt(1 - rho**2)]])

XZ = Z @ L.T # shape (n_runs, years, 2)

z_price = XZ[:,:,0] # korrelierte Standardnormalen

z_qty = XZ[:,:,1]

# (b) Quantil-Mapping auf Zielmarginalen

if use_t_marginal_for_price:

    # Mappe Standardnormal u=Phi(z) -> t-Quantile (df=t_df), skaliere auf sigma_price

    u = norm.cdf(z_price)

    x_price = t_dist.ppf(u, df=t_df)

    # Varianz an sigma_price anpassen (Skalierung)

    # Var[t] = df/(df-2) für df>2 -> Std = sqrt(df/(df-2))

    std_t = np.sqrt(t_df/(t_df-2))

    x_price = (x_price / std_t) * sigma_price

else:

    x_price = sigma_price * z_price

# Menge bleibt normal-marginal mit Ziel-Sigma

x_qty = sigma_qty * z_qty

# Dreiecksverteilung für variable Kostenquote (unabhängig zur Vereinfachung)

u_vcr = np.random.rand(n_runs, years)

vcr = triang(c, loc=tri_min, scale=(tri_max - tri_min)).ppf(u_vcr)

# Erwartungswerte (Mus) addieren

price_g = mu_price + x_price

qty_g = mu_qty + x_qty

# -----------------------------

# 3) Pfade & Cashflows

# -----------------------------

price = np.zeros((n_runs, years))

qty = np.zeros((n_runs, years))

price[:,0] = price0 * (1 + price_g[:,0])

qty[:,0] = qty0 * (1 + qty_g[:,0])

for t in range(1, years):

    price[:,t] = price[:,t-1] * (1 + price_g[:,t])

    qty[:,t] = qty[:,t-1] * (1 + qty_g[:,t])

revenue = price * qty

var_costs = revenue * vcr

fix_costs = np.full((n_runs, years), fix_cost)

ebit = revenue - var_costs - fix_costs

tax_pay = np.where(ebit > 0, ebit * tax, 0.0)

fcf = (ebit - tax_pay) # didaktisch: ohne Abschr./NWC über t>0

discount = np.array([(1 + wacc)**t for t in range(1, years+1)])

npv = -capex0 + (fcf / discount).sum(axis=1)

# -----------------------------

# 4) Kennzahlen & Plots

# -----------------------------

p5, p50, p95 = np.percentile(npv, [5, 50, 95])

prob_neg = np.mean(npv < 0)

print(f"P5 / Median / P95: {p5:,.0f} / {p50:,.0f} / {p95:,.0f} CHF")

print(f"Wahrscheinlichkeit NPV < 0: {prob_neg*100:.1f}%")

plt.figure(figsize=(8,4))

plt.hist(npv, bins=50, color="#0ea5e9", edgecolor="white")

plt.title("NPV-Verteilung (10.000 Läufe)")

plt.xlabel("NPV [CHF]"); plt.ylabel("Häufigkeit")

for val, col, lab in [(p5, "red", f"P5 = {p5:,.0f}"),

                      (p50, "black", f"P50 = {p50:,.0f}"),

                      (p95, "green", f"P95 = {p95:,.0f}")]:

    plt.axvline(val, color=col, linestyle="--", label=lab)

plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

# -----------------------------

# 5) Tornado: Spearman-Rangkorrelation (robust)

# -----------------------------

# Treibersignale über alle Jahre mitteln (eine einfache, visuelle Näherung)

price_signal = price_g.mean(axis=1)

qty_signal = qty_g.mean(axis=1)

vcr_signal = vcr.mean(axis=1)

def spearman(x, y):

    rx = rankdata(x); ry = rankdata(y)

    return np.corrcoef(rx, ry)[0,1]

drivers = {

    "Preiswachstum": spearman(price_signal, npv),

    "Mengenwachstum": spearman(qty_signal, npv),

    "VarKostenquote": spearman(vcr_signal, npv),

}

for k, v in sorted(drivers.items(), key=lambda kv: abs(kv[1]), reverse=True):

    print(f"Spearman(NPV, {k}): {v:+.2f}")

Didaktik‑Hinweise

• Seed setzen (Reproduzierbarkeit).

• Gaussian Copula wahrt Abhängigkeit; t‑Copula wäre eine Alternative mit Tail‑Dependence (fortgeschritten). [risknet.de]

• LHS als optionale Verbesserung (Variabilität pro Stratum abgedeckt). [en.wikipedia.org]

11. Real‑Time & Self‑Service Finance

Optionen: Streamlit, Dash, Power BI (Python Script), Excel Online.

Widgets: Slider (z. B. WACC, CO₂‑Preis), Dropdowns (Szenarien), Checkbox (Maßnahmen). Streamlit stellt st.slider bereit (int/float/Date/Range).

Mini‑Skizze (Streamlit)

Python

# streamlit_app.py (Kurzidee)

import streamlit as st

# Parameter

wacc = st.slider("WACC", 0.04, 0.15, 0.08, 0.01)

runs = st.selectbox("Läufe", [2000, 5000, 10000], index=2)

# ... Simulation wie oben, NPV -> Histogramm/CDF/Tornado ...

# st.pyplot(fig); st.metric("P5", f"{p5:,.0f} CHF"); st.metric("Prob(NPV<0)", f"{prob_neg*100:.1f}%")

Weitere Zeilen anzeigen

(Dokumentation zu st.slider: Streamlit‑Docs.)

12. Unterricht, Prüfung & Praxis (HF/ACCA/CIMA‑kompatibel)

• Excel‑Lab: 3 unsichere Treiber, 10 000 Läufe, Histogramm + Tornado (Spearman), So‑what‑Satz.

• IFRS 9 Mini‑Case: Makro‑Pfade + PD/LGD/EAD → ECL‑Bandbreite (Governance gem. EBA‑Leitlinien).

• DORA‑Case: TTR/RTO, P(TTR>RTO), Downtime‑VaR, Maßnahmenwirkung (Failover).

• Klima‑Case: Transition/Physical in FCF/NPV; Taxonomie‑Kriterien referenzieren.

• Governance‑One‑Pager: Annahmen, Verteilungen, Validierung, Black‑Swan‑Hinweis.